「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第1章補間

◯目次

はじめに
線形補間とグラデーション
- mix 関数について
- 双線形補間
階段関数によるポスタリゼーション
極座標を使ったマッピング
- 極座標について
- マッピング
次回リンク
後で詳しく調べるものリスト
参考書籍

はじめに
線形補間とグラデーション
- mix 関数について
- 双線形補間
階段関数によるポスタリゼーション
極座標を使ったマッピング
- 極座標について
- マッピング
次回リンク
後で詳しく調べるものリスト
参考書籍

はじめに#

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 1 章の補間についての勉強ログです。

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線形補間とグラデーション#

mix 関数について#

GLSL における mix 関数は以下のような数式になります。

\bm{a} + x\overrightarrow{AB} = \bm{a} + x(\bm{b} - \bm{a}) = (1 - x)\bm{a} + x\bm{b}

これは、線分 AB があり、その線分上を動く 0 以上 1 以下の x に対して、線分 AB を x: (1 - x)に内分する点の位置ベクトルを表しています。上記の式のベクトルをmix(a, b, x)として定義しています。このように 2 点間をつなぐことを補間と呼び、上記の式は線形補間（Linear Interpolation）の公式です。

コード 1.1 のように、赤(1, 0, 0)と青(0, 0, 1)を mix 関数でつなぐことで 2 色のグラデーションを作ることができます。

コード1.1

vec2 RED = vec3(1.0, 0.0, 0.0);
vec3 BLUE = vec3(0.0, 0.0, 1.0);
vec3 col = mix(RED, BLUE, pos.x);

双線形補間#

補間関数を 2 変数にすると、2 次元区間上の補間を考えることができる。下記の 2 変数関数を考える。

f(x, y) = \mathrm{mix}(\mathrm{mix}(\bm{a}, \bm{b}, x), \mathrm{mix}(\bm{c}, \bm{d}, x), y)

$x$ と $y$ に $0$ と $1$ を代入するとそれぞれ、 $f(0, 0)=\bm{a}$ 、 $f(1, 0)=\bm{b}$ 、 $f(0, 1)=\bm{c}$ 、 $f(1, 1)=\bm{d}$ になるのを確認してみてください。

コード 1.3 では、4 色をつなぐグラデーションを作成してます。

$(0, 0)$ が赤で、 $(0, 1)$ が青、 $(1, 0)$ が緑で、 $(1, 1)$ が黄色となり、その間はグラデーションになっているのが確認できるでしょう。

階段関数によるポスタリゼーション#

線形補間は連続的につなぐ補間ですが、ポスタリゼーションは離散的な値で補間を行う方法です。コード 1.4 では、step 関数と fract 関数,floor 関数を用いてポスタリゼーションを実装してます。

次のコード 1.4 では、双線形補間で $(0, 0)$ が赤で、 $(0, 1)$ がピンク、 $(1, 0)$ が黄色で、 $(1, 1)$ が白となるグラデーションを作成し、ポスタリゼーションで階段状に補間しています。

コード1.4

void main(){
  vec2 pos = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy;
  vec3[4] col4 = vec3[](
    vec3(1.0, 0.0, 0.0),
    vec3(1.0, 1.0, 0.0),
    vec3(1.0, 0.0, 1.0),
    vec3(1.0, 1.0, 1.0)
  );
 
  float n = 4.0;
  pos *= n;
  pos = floor(pos) + step(0.5, fract(pos));
  pos /= n;
 
  vec3 col = mix(mix(col4[0], col4[1], pos.x), mix(col4[2], col4[3], pos.x), pos.y);
  fragColor = vec4(col, 1.0);
}

ここで階段状に補間してる部分の数式を床関数を[]で表すと以下のようになってます。

([nx] + step(0.5, fract(x))) / n

サンプルコードではフラグメント座標範囲を[0, 4]にスケールし、4 分割しています。

ここで、Desmos 上で先程のポスタリゼーションの数式を見てみましょう。分かりやすいように 5 分割にしています。

$1/5 = 0.2$ になるので、y 軸方向では 0.2 ずつ増加してるのが分かるかと思います。x 軸方向も同様に 0.2 ずつ増加していますが、[0.0, 0.1]と[0.9, 1.0]の範囲は 0.1 の増加になります。

なので、先程のサンプルコードの画像も両端は半分の区切りになります。実際に値を代入してみて、グラフ通りになるか確認してみてください。

極座標を使ったマッピング#

極座標について#

直交座標(デカルト座標)では点を $(x, y)$ の形で表しますが、極座標では、点を距離と角度を使って表します。極座標では次のようになります。

(r, \theta)

$r$ : 原点からの距離(動径)
$\theta$ : x 軸正方向からの角度(偏角)

極座標と直交座標の変換は以下のようになります。

x = r \cos(\theta), y = r \sin(\theta)

r = \sqrt{x^2 + y^2}, \theta = \arctan(y / x)

GLSL では、動径は組み込み関数のlengthで計算できます。偏角の arctan はatanで計算できますが、 $x=0$ 上では定義されてないので、拡張したatan2関数を作ります。

atan2

const float PI = 3.1415926;
 
float atan2(float y, float x) {
  return x == 0.0 ? sign(y) * PI / 2.0 : atan(y, x);
}

sign関数は、値が正なら 1、負なら-1、 $0$ なら $0$ を返します。ここでは、 $x=0$ の場合なので、y が正なら $\pi/2$ になり 90 度、負なら $-\pi/2$ になり-90 度となることを表してます。

このatan2関数を使用し、直交座標を極座標に変換するxy2pol関数は次のようになります。

xy2pol

vec2 xy2pol(vec2 xy) {
  return vec2(atan2(xy.y, xy.x), length(xy));
}

極座標を直交座標に変換するpol2xy関数は次のようになります。

pol2xy

vec2 pol2xy(vec2 pol) {
  return pol.y * vec2(cos(pol.x), sin(pol.x));
}

引数のpolは、極座標の形で表されます。pol.xは偏角、pol.yは動径です。

マッピング#

ここでは、サンプルコード 1.2 の直交座標での 3 色(赤・青・緑)をつなぐグラデーションを極座標にマッピングしてみます。

赤・青・緑を極座標にマッピング

// 0~2πの範囲で返す関数
float atan2PI(float y, float x) {
  float a = atan2(y, x);
  return (a < 0.0) ? a + 2.0 * PI : a;
}
 
void main(){
  vec2 pos = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy;
  pos = 2.0 * pos.xy - vec2(1.0);
  pos.x = atan2PI(pos.y, pos.x) / PI;
 
  vec3[3] col3 = vec3[](
    vec3(1.0, 0.0, 0.0),
    vec3(0.0, 0.0, 1.0),
    vec3(0.0, 1.0, 0.0)
  );
 
  int ind = int(pos.x);
 
  vec3 col = mix(col3[ind], col3[ind + 1], fract(pos.x));
  fragColor = vec4(col, 1.0);
}

まず極座標にマッピングするため、画面中央が(0.0, 0.0)になるように、フラグメント座標範囲を[-1.0, 1.0]に変換します。

vec2 pos = gl_FragCoord.xy / u_resolution.xy;
pos = 2.0 * pos.xy - vec2(1.0); // [-1.0, 1.0] に変換

GLSL のatanは、[-π,π] の範囲を返すので、3 色のグラデーションにするために、偏角を [0,2π] の範囲で返す関数atan2PIを作ります。

float atan2PI(float y, float x) {
  float a = atan2(y, x);
  return (a < 0.0) ? a + 2.0 * PI : a;
}

GLSL のatanは、座標の第 1 象限と第 2 象限の場合は正の値、第 3 象限と第 4 象限の場合は負の値を返します。なので、正の値の時はそのまま返して、負の値の時は 2π を加えて返すことで、[0,2π] の範囲で返すことができます。

atan2PIで返ってきた値を π で割ることで、0~2 の範囲が得られるので、サンプルコード 1.2 のようにintで整数にして、3 色の配列のインデックスを使いmix関数でグラデーションを作ることができます。

ここで見たように、極座標を使ったマッピングでは原点に近い部分では、1 周が短くなります

なので書籍のコード 1.8 では、テクスチャの端でつなぎ目がうまくつながるように白色のグラデーションをつくっています。この部分に関しては書籍を参照してください。

次回リンク#

後で詳しく調べるものリスト#

参考書籍#

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Meta Data

公開日:2025-09-07

Tags:

#GLSL #数学 #勉強ログ

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$「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第1章補間$

WebGLで使う行列演算の備忘録

はじめに

ライブラリを使用せず素の WebGL で書けるようになりたいと思い、最近はいろいろ勉強してます。WebGL を触るうえで行列演算は避けては通れません。WebGL 用の行列演算の既存のライブラリだと glMatrix がありますが、今回は線形代数の勉強も兼ねて自作で作ってみました。(自作といっても、ほぼほぼ OGL の数学演算系をもって来ているだけですが)

足し算などの簡単なのは飛ばして、何をやってるか忘れそうな処理について備忘録的に書いていきます。長くなるので、主に 3x3 行列をみていきます。

数学演算系のコードは以下に置いてます。

https://github.com/nono-k/webgl-study-note/tree/main/src/lib/webgl/math

3x3 行列(Mat3)

3x3 (Mat3)行列のクラスは次のようにしてます。演算系の関数はMat3Funcで書いています。

import * as Mat3Func from "./functions/Mat3Func";

export class Mat3 extends Array<number> {
  constructor(
    m00 = 1,
    m01 = 0,
    m02 = 0,
    m10 = 0,
    m11 = 1,
    m12 = 0,
    m20 = 0,
    m21 = 0,
    m22 = 1
  ) {
    super(m00, m01, m02, m10, m11, m12, m20, m21, m22);
  }
  // ...
}

数式で書くと次のような行列表記になります。

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第8章 3Dレンダリング

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 8 章の 3D レンダリングについての勉強ログです。

テクスチャマッピング

地面とレイの交点を計算し、地面に市松模様をテクスチャとしてマッピングします。市松模様のテクスチャは次のようになります。

float text(vec2 st) {
  return mod(floor(st.s) + floor(st.t), 2.0);
}

ここで 3D 空間のカメラの設定をします。カメラの向きを$\bm{x} = (0, 0, -1)$とし、カメラの上方向を$\bm{y} = (0, 1, 0)$とします。この値に対して外積をとることで、撮影する向きに対する水平方向$(1, 0, 0)$を得ることができます。実際の計算は次のようになります。

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第7章距離とSDF

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 7 章の距離と SDF についての勉強ログです。

2 次元 SDF

胞体ノイズでは近傍点との距離を返す関数でしたが、近くの「点」ではなく「図形」との距離を返す関数を考えます。ここでは図形との負の値もありうる距離を返す関数を導入します。これがSDF(Signed Distance Function, 符号付き距離関数)となります。

円の SDF

円の SDF について考えてみます。円は中心点 C と半径 r から決まりますが、C からの距離が r より小さければ円の「内部」、r より大きければ円の「外部」となり、r と等しい場合は円の「境界」です。平面上の点 P に対して、円の外部では値は正、内部では値が負とします。これが円の SDF を定めます。

$円のSDF$

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第6章胞体ノイズ

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 6 章の胞体ノイズについての勉強ログです。

胞体ノイズとは？

値ノイズと勾配ノイズは格子点でのランダムな値を使ったノイズ関数でした。一方この章で学ぶ胞体ノイズは距離を使ってつくられます。胞体（セル）とは生物の細胞などのことで、胞体ノイズは「近さ」によって空間をバラバラに分割します。

第 1 近傍距離とボロノイ分割

胞体ノイズは空間内に点をバラまいて、各点への距離を測ることで得られますが、バラまかれたこれらの点は特徴点と呼ばれます。ここで特徴点を$A_1,...,A_n$とします。空間内の点 P を定めたとき、P から特徴点$A_i$への距離を$d(P, A_i)$で表すと、すべての特徴点までの距離の最小値は次のように求まります。

$$ \mathrm{min}(d(P, A_1), ... , d(P, A_n)) $$

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第5章ノイズの調理法

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 5 章のノイズの調理法についての勉強ログです。

再帰

再帰関数とは、関数の中で自分自身の関数を呼び出すような関数のことです。GLSL では再帰関数は使えませんが、for 文を使って再帰的な処理を行うことができます。

非整数ブラウン運動(fBM)

1 以下の定数 G に対し、1 変数ノイズ関数 noise(x)の周波数を 2 倍するごとに値を G 倍して、それを足し合わせてみましょう。式にすると次のようになります。

$$ noise(x) + Gnoise(2x) + G^2noise(4x) + ... + G^knoise(2^kx) $$

ここで素材となるノイズ関数 noise(x)はどのような関数でもいいですが、値の範囲を$[-0.5, 0.5]$区画にずらしておきます。このように加工されたノイズ関数は非整数ブラウン運動(fractional Brownian motion, fBM)と呼ばれます。

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第4章勾配ノイズ

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 4 章の勾配ノイズについての勉強ログです。

勾配ノイズとは？

前回は値ノイズについて見てきました。値ノイズは計算量も少なく、簡単につくれるノイズですが、格子で区切っているのでブロック状に見えてしまいますし、ムラが現れやすいです。値ノイズを改善したノイズが勾配ノイズになります。

値ノイズの場合は、格子点での乱数の「値」を使うのに対し、勾配ノイズは乱数のベクトル値を「勾配」として使用します。ノイズ関数でよく使用されるパーリンノイズは、この勾配ノイズの一種であります。この章では、勾配ノイズと 2002 年の Perlin による改良版勾配ノイズ（パーリンノイズ）について見ていきます。

勾配ノイズの構成法

1 変数

値ノイズは乱数値をエルミート補間してつくりました。ここで別の見方として、$h(0) = 0$,$h(1) = 1$,$h'(0) = h'(1) = 0$ を満たすエルミート補間関数$h(x)$に対して、$w(x)$を次のように定義します。

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第3章値ノイズ

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 3 章の値ノイズについての勉強ログです。

値ノイズの構成法

まずは 2 次元の値ノイズの構成法について見てみましょう。

$平面上の正方形の4つの頂点（格子点）$

平面上の正方形の 4 つの頂点（格子点）を用いて、値ノイズを構成します。各格子点での乱数値、または乱数ベクトルを使って生成されるノイズを格子ノイズと呼びます。格子点の成分は整数になるようにします。点$(x, y)$に対して床値$[]$を使って、$(x, y)$を取り囲むマスの格子点は次の 4 つのベクトルで表します。

「リアルタイムグラフィックスの数学」勉強ログ - 第2章疑似乱数

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はじめに

「リアルタイムグラフィックスの数学」の第 2 章の疑似乱数についての勉強ログです。

レガシー乱数

GLSL ES 1.0 ではビット演算が使えないため、ハッシュ関数ではなくサイン関数を使用した乱数生成が行われていました。The Book of Shaders ではサイン関数を使用した乱数生成の方法が紹介されています。

https://thebookofshaders.com/10/?lan=jp

サイン関数自体には乱数性はないですが、サイン関数の値に大きい値をかけて桁を上げ、fractで小数部分を取り出すことで乱数のように見えることができます。

レガシー乱数の 1 変数と 2 変数のコードは次のようになります。

// 1変数のレガシー乱数
float fractSin11(float x) {
  return fract(1000.0 * sin(x));
}

// 2変数のレガシー乱数
float fractSin21(vec2 xy) {
  return fract(sin(dot(xy, vec2(12.9898, 78.233))) * 43758.5453123);
}

勉強のために「リアルタイムグラフィックスの数学」のGLSLコードを確認できるサイトを作った